다시 시작해보자. 영리한 칸토어. 뒤통수 후리는 멋쟁이 칸토어 씨!

 우리는 저번 시간에 자연수와 유리수 사이의 대응 관계를 배웠다. 이는 우리의 똑똑한 칸토어 씨가 개발한 ‘유리수를 세는 방법’이다. 유리수는 무한히 많으니 언젠가 다 세는 일이야 없겠지만, 적어도 아무 유리수나 탁! 내밀었을 때 아, 내가 그 유리수는 1억 25698번째 셀 생각이었어. 라고 말할 수 있는 것. 그게 여기서 ‘셀 수 있다’의 정의인 것이다. 요컨대 중요한 것은, 하나도 빠짐없이 나열하는 것이다.

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수학 상상 저번 시간에 보았던 유리수를 세는 방법.jpg 를 다시 한 번 들여다 보자.

 정말 모든 유리수가 이런 규칙에 의해 빠짐없이 세어질 수 있는 것일까? 모든 유리수를 일일이 다 확인할 수 없으니 일반적인 형태, p/q 를 생각해보자. 마음의 눈으로 조금만 눈여겨 보면 이 유리수는 그림의 q행 p열에 있음을 알 수 있다.

 칸토어 씨는 여기서 방심하지 않았다. ‘셀 수 없는 무한’ 에 대해 생각할 수 있었던 것이다. 셀 수 없는 무한이라니! 상상이나 할 수 있나요?

무리수를 세자. 무리수를 세자.

하지만 무리수를 세고픈 칸토어에게 떠올랐던 일말의 걱정 거리.

무리수를 셀 수 없으면 어떡하지?

** 주의!
여기서 무리수란: 분수로 나타낼 수 없는 수, 즉 순환하지 않는 무한소수. 예를 들면

3.14159265358979…

반대로 유리수는: 분수로 나타낼 수 있는 수, 순환하는 무한소수이거나 유한소수. 예를 들면

0.3이나 1.131313…

로 고전적인 정의를 따름.

 무리수는 얼마나 많을까? 수직선위를 여행한다 치면 길에서 만나는 놈이 무리수일 빈도는 얼마나 높을까?
수직선 위의 아무 수나 선택했을 때, 무리수는 얼마나 자주 나올까?

Q. 무리수는 countable할까?

 countable하다는 건 결국 자연수 집합과의 1대1대응 관계를 찾을 수 있다는 말이다. 그런데 지금은 그런 대응 관계를 발견하지 못했기 때문에, 그런 1대1 대응 관계가 과연 있을지 알 수 없는 상태다.  이럴 때 우리는 우리가 모르고 있는 것을 가정함으로써 한 걸음 나아갈 수 있다.


 일단 범위를 [0,1]로 좁혀 [0,1] 구간의 무리수가 셀 수 있는 만큼 많다고 가정한다.

즉, 무리수는 빠짐 없이 나열될 수 있을 것.

0.1234256423…

0.13142135623…

0.31415928979…

⋮

 예를 들면 위와 같이 모든 무리수들을 나열한다고 생각해보자. (여기서 무리수는 순환하지 않는 무한소수를 가리킨다.)

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0.1234256423…

0.13142135623…

0.31415928979…

⋮

 게임을 하나 제안하겠다. 위 수열의 빨간 숫자만 살아남도록 다른 숫자들은 지워보자. 빨간 숫자들을 소수점 아랫자리에 쭉 나열해보자. 0.134… 이런 수가 될 것이다.

이 수는 유리수일까, 무리수일까? 두 개의 문 중 하나를 선택해 보자.

 침착히 다시 정리해 보자. 먼저 우리는 [0,1] 구간의 무리수를 셀 수 있다고 가정했다. 그 말은 0부터 1사이의 무리수를 빠짐없이 나열하는 방도가 있다는 소리. 즉 0부터 1사이의 모든 무리수가 다 포함된 수열을 만들 수 있다는 소리이다.


 그래서 그 나열 방법은 상관치 말고 어떻게든 나열했다고 치자. 이 때 [0과 1사이 모든 무리수가 나열된 무리수 수열] 의 대각선을 따서 만들어진 수 이를테면 0.134… 를 이용하여, 원래의 무리수 수열에 포함되지 않는 무리수를 만들어 수 있음을 보이고 모순을 이끌어내자는 것이 증명의 아이디어다.


 0.134…가 유리수일 때와 무리수일 때 각각 원래의 무리수 수열에 포함되지 않는 새로운 무리수를 구성할 수 있었다. 그리하여 모든 무리수를 빠짐없이 셀 수 있다는 가정에 모순!

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막다른 길!

 여러분은 막다른 길을 만나면 어떻게 하나요? 그 전의 갈림길까지 돌아가겠지?

 여기서 이 수(0.134…)가 유리수도 무리수도 될 수 없음은, 무리수를 헤아릴 수 있다는 우리의 가정을 포기해야 된다는 것을 의미한다. 무리수는 어떤 방법으로도 세어질 수 없다. 왜? 위의 내용을 요약하자면, 무리수를 셀 수 있다고 가정했을 때 모순이 이끌어지기 때문.

 그러니까 무리수의 무한은 유리수의 무한과는 분명히 다르다. 무리수는 유리수보다 훨씬 많다는 사실! 우리는 이를 다음과 같이 표현하도록 하자.

"무리수는 uncountable하다. "

수직선 위를 점유하는 것은 사실 거의 무리수다.

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통하는 마음.

 아빠에게 전화를 받았다. 나는 인터넷쇼핑몰을 띄워놓고 시간을 죽이던 순간에 내가 그리 행복하지 않았음을 깨달았다. 갑작스런 아빠의 전화를 받는 내 목소리가 괜히 밝은 체 하려는 우유부단한 색채였기 때문이다. 내 마음이 거짓 없는 행복으로 충만하다면 나는 설령 부도덕한 짓을 하고 있었을지라도 강할 것이다.

 나는 노래들을 좋아한다. 하나의 노래는 처음부터 끝까지 한결같다. 노래는 과자를 찍어내는 틀처럼 감정을 찍어낸다. 때문에 나는 불안한 순간에 노래를 부르면 안심이 된다. 정말 그런 감정에 빠진 것처럼 부르는 것이 노래이기 때문이다. 기분이 좋으면 무심결에 노래를 부르게 되는 것처럼 무상념 상태에서 내 감정을 위탁할 수 있다. 설령 대상이 있어야 하는 감정일지라도 대상의 부재에 개의치 않고 지멋대로 생겨나서 탐욕스럽게 대상을 물색하는 그런 감정들을 살짝 물길을 내듯 흘려보낼 수 있다. 언제나 쉬지 않고 감정은 넘쳐흐르고, 감정을 조절하지 못하면 다른 사람에게 마음을 열 수가 없다. 또, 다른 사람에게 감정적으로 깊이 의존하게 되면, 어떤 방식으로든 상처를 입는다.

 아빠와의 통화에서 아빠는 평소보다 많은 말을 했다. 진주에 내려갔을 때, 내가 막내 동생에 대해 여러 가지 질문들을 했던 이야기를 하며, 언제나 내가 생각이 깊었고 그래서 같이 사는 동생에게 많이 양보해야 한다는 그런 이야기였다. 그리고 아빠는 내게 어른이 되었다는 표시를 하라고 했다. zzz 내가 좀 감동받은 지점은 나의 사소한 말(막내에 대한 질문들?)에 의해 아빠가 보기에 무언가가 드러날 수 있었던 그 한 번의 event 였다. 누군가와 서로 이해하는 것이 거의 불가능하다 느끼던 참에, 서로 이해하는 것이 어떤 것인지에 대한 감각을 찾아주었다. 서로 이해할 수 있다면, 항상 밝고 즐겁고 유쾌하지 않아도 괜찮잖아?

 요즘 <수학의 언어-케이스 데블린>를 읽고 있다. 수학은 패턴을 알아보는 일을 한다. 그리고 그 패턴의 본질은 추상적인 것이다. 음악은 귀로 들을 수 있지만, 수학은 듣거나 볼 수 없다. 나는 수학을 전기같이 찌릿찌릿한 것으로 느끼기도 하고, 깊고 깊은 우물 속에서 물을 길러내는 것 같이 느끼기도 한다. 우리에게 감각적인 자극은 쉴 새 없이 오지만 기억되는 것, 진짜로 경험되는 것은 좀 더 깊이 흐르는 구조, 패턴이다. 오히려 패턴을 표현하기 위해 다시금 감각이 요청되는 것이다. 내가 위에서 ‘…한다.’, ‘…는다.’ 이렇게 현재형으로 표현하는 것들은 전부 패턴이다. 그리고 그것들이 불연속적이고도 보다 완전한 주체인 나에게 남는다. 패턴은 그 사람이다.

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 누구나 한번쯤 말을 안 듣는 미친 지퍼 때문에 고생해본 경험이 있을 것이다. 오늘 당장 집에서 필요 없는 지퍼로 실험해보자. 지퍼의 원리는 무엇이고, 한 번 채워지고 나면 왜 별 것 없는 데도 단단하게 채워져 지퍼가 다시 지나가기 전에는 풀리지 않는지. 그리고 그런 사소한 궁금증 있잖아. 지퍼가 한 번 고장나기 시작하면 왜 자꾸 고쳐도 고쳐도 잘 고장나게 되는 것일까? 지퍼의 닫힌 모습은 두 손을 깍지낀 모습과도 비슷하다.

계단?

계단은 지퍼와 닮았다. 무엇이 닮았나? 위로 한 번, 옆으로 한 번, 야금야금 전진해나가는 방식. 그래서 전체적으로는 사선 방향의 진행을 한다. 지퍼는 좌로 한 번, 우로 한 번 전진하고 위로 진행해간다.

이번엔 종이로 나선형 계단을 표현해보자. 방법은 아주 간단하다. (적당히) 가늘고 긴 종이띠 두 장이 필요하다. 종이띠 두 장은 폭이 서로 같다. 90도 각도로 두 종이띠를 대고, 서로 포개면서 한 번 접고, 그 위로 같은 방식으로 한 번 접고, 또 그 위로 계속 포개며 접어 가는 것이다. 종이띠가 끝나고 접은 것을 위에서 내려다보면 정사각형으로 보인다.
 접은 것의 위 아래를 잡고 쭉 늘려보자. 늘릴수록 종이띠는 조금씩 더 비틀린다.

어설픈 나선형 계단을 만들 수 있었지! 계단의 비밀은 두 종이띠를 주거니 받거니 주거니 받거니 주거니~ 받거니~ 접어 올라가는 것.

지퍼의 원리, 일대일 대응!

한 계단당 한 번 밟는 것. 그게 함수라고 느낀 적은 없나요?

Q. 함수란?
 함수는 공집합이 아닌 두 집합 X(정의역), Y(공역)에 대하여 X 의 각 원소를 Y 의 오직 하나의 원소에 대응시키는 대응 관계이다.

두 계단당 한 번 밟는 것은 이를테면 일대일 함수 (각각의 치역의 원소들에 대해, 대응하는 정의역의 원소가 유일하게 존재하는 함수)

 지퍼와 나선 계단 종이접기, 둘 다 1대1 대응의 패턴을 가지고 있다. 주고받고. 메기고 받고. 자극과 반응. 1대1 대응의 패턴은 여기저기에 숨어 있다.

 한편, 1대1 대응은 무한집합들을 비교하는 방법이기도 하다.


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[0,1] 에 놓인 실수들은 [0,18]에 놓인 실수들과 1대1대응된다. y=18x 의 그래프를 그려보자. [0,1]의 아무 x 나 골라도 x에 대응되는 y가 하나 존재하고 그 y는 [0,18] 안에 있다.
예를 들어, 18 * 0.1 = 1.8
따라서 0.1에 대한 y=18x 의 함수값은 1.8이다. 이 값은 0과 18 사이에 있다.

반대로, [0,18] 안에 있는 아무 y나 골라도 그래프를 타고 가면 대응하는 x가 반드시 하나 존재하고 그 x는 [0,1] 안에 있다.
예를 들어, 6 = 18 * ⅓
즉, y = 6 에 대응하는 x는 ⅓ 이다. 이 값은 0과 1 사이에 있다.

[0,1] 에 놓인 실수들의 무한과 [0,18] 에 놓인 실수들의 무한, 두 집합이 일대일 대응될 수 있다는 사실은 사실 얼마나 비직관적인가?

두 개의 유한집합이라면, 유한집합 A, B에 대해서 A가 B에 포함되고, A≠B 일 때, 어떤 수를 써도 두 집합의 원소끼리 1대1 대응을 만들 수 없다!

 




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 모든 짝수들의 집합을 생각해보자. 모든 짝수들을 모은다면 무한집합이 되겠지만, 가장 작은 짝수부터 나열하는 방식으로 상상해볼 수 있을 것이다. {2,4,6,8,…}

 “나열할 수 있다”는 것이 어떤 의미인지 생각해보자. 나열한다는 것은 셀 수 있다는 것, 하나, 둘, 번호를 붙일 수 있다는 것.

 하나, 둘, 셋 센다는 것을 우리의 틀에 맞추어 표현하면, {2,4,6,8,…}이 자연수 집합 {1,2,3,…} 과 1대1 대응한다는 것. 즉, 자연수의 무한과 짝수의 무한은 동등한 무한인 것이지.

유리수는 countable 하다.

 유리수 집합이 countable 하다는 것은 칸토어라는 천재적인 수학자가 증명했다. 그의 증명은 하나의 그림으로 압축된다. 유리수를 셀 수 있는 것이다.

왼쪽 위 꼭지점부터 사선 방향으로 세어 보자.

1/1 , 2/1 , 1/2 , 3/1 , 2/2 , 1/3 , 4/1 , 3/2 , 2/3 , 1/4 , …

이렇게 하면 겹침은 있지만 모든 유리수들을 빠짐없이 셀 수 있다.

 자연수 집합은 유리수 집합에 포함되고 유리수 집합이 더 커야 할 것 같은데 두 집합 사이에 이런 관계를 발견할 수 있다는 것은 충격적이다. 그렇다면 countable하지 않은 집합도 있을까?

 밤 열 시에 집에 돌아와 네 시간 자고 일어나 글을 쓴다. 리듬을 깨고 더한 리듬을 찾기 위해 글을 쓴다.
 며칠 동안 몸도 정신도 우다다 달려온 느낌이다. 갑자기 맡게 된 대안학교의 국어교과서를 만드는 일은 나의 떠도는 감수성, 뭔가의 충동을 채워준 일이었다. 임무의 과중함을 느낄 수 있으면서도 내가 좀 제 멋대로 기획할 수 있도록 포용해주었다.

 토요일 오전(3/19)에 교과서 만들기 할당량을 끝내고 나서 철철을 가기 전에 1시간 정도 혼자 있는 집에서 낮잠을 잤는데, 그 평온하던 아늑함을 잊을 수 없다. 일요일 아침(3/20)의 과외는 기교를 부리는 것에 대해 가르쳐야 하는 시간이었다. 식을 가지고 노는 것. 하지만 한층 유희적인 방식. 이 모든 건 공식을 외우고 적용해보는, 지난한 과정이 따르는 일이다.

 일요일 아침 과외 가는 길 마을버스 안에서 두 손에게 오랜만에 주목하여 손가락을 하나씩 접고 펴며 관찰해보았다. 네 발로 걸었다면 고양이처럼 물도 입으로 마셔야 했을 텐데, 문자도 없었을 것이고 기록이 없다면 측정하고 세는 것 역시 부자연스러운 일인데 두 발로 걸어서 참 다행이다. 네 발에서 두 발이 되는 참 지난한 과정, 그리고 두 손이 땅에서 떨어져 나왔을 때 할 일 없는 두 손이 노닥거리며 만들어낸 상상의 세계. 인류에게 살아남는 것 이외에 표지판 따윈 없지만 그저 (두 손의 혹은 다른?) 자유만으로도 참 많은 걸 해왔다. 다항식의 인수분해도 그런 자유로움으로 느껴지면 좋을 텐데. 그런 생각에 눈물이 날 만큼 집중하고 있었다.

 

 타일백화점은 모든 종류의 정사각형 타일과 모든 크기의 정사각형 타일이 다 있는 환상의 백화점이다. 심지어 가로 세로 1cm 짜리의 타일도, 더 작은 타일도 문제없이 구할 수 있다.


 어떤 수학자들은 자기 집 화장실의 타일이 마치 그 화장실을 위해 태어난 것처럼 운명적으로 들어맞기를 바라기 때문에 타일백화점을 종종 이용한다.

 수학자 이칠칠 씨는 며칠 전부터 게으르고 안락하던 일상에서 벗어나 이사준비를 하나부터 열까지 진두지휘하기 시작했다.

그러기 위해서는 먼저 화장실 바닥의 폭과 길이를 알아야 겠지.


 칠칠 씨의 새로 이사 가는 화장실 바닥의 폭과 길이를 이사를 도와주던 칠칠 씨의 친구가 먼저 재보았더니 폭은 2m34cm, 길이는 5m70cm였다. 가로 세로 몇 cm의 정사각형 타일을 깔아야 할 것인가? 단, 이 때 타일을 이어붙일 때 타일과 타일 사이의 간격은 무시하자.

이 때, 234cm와 570cm 를 소인수분해하면,

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dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd
이므로 234와 570의 공통인수는 2와 3이다.
234와 570의 최대공약수(자연수 약수 중 가장 큰 수!)는 2*3= 6이다.


 따라서 폭 234cm, 길이 570cm의 바닥을 채우기 위한 타일은 한 변 6cm 짜리도 될 수 있고 한 변 3cm 짜리도 될 수 있다.

 같은 면적을 더 작은 타일로 깔면 타일의 갯수가 많아질 것이다. 타일의 개수가 많아지면 돈도 많이 들고 타일을 까는 수고도 만만찮으니 깔 수 있는 가장 큰 타일인 한 변 6cm 짜리 타일을 칠칠 씨의 화장실에 까는 것이 좋겠다.

그러면 폭 방향으로  39개의 타일을 깔아야 하고

6*39= 234

길이 방향으로는 95개의 타일을 깔아야 한다.

6*95= 570




 그런데 이때 성격이 깐깐한 칠칠 씨가 화장실의 폭과 길이를 다시 재보겠다며 줄자를 들었다. 다시 재보니 화장실의 폭은 2m33cm, 길이는 570.3cm이다. 칠칠 씨의 성격을 잘 알지만 칠칠 씨와는 다르게 요령 있는 성격의 칠칠 씨 친구가 타일 크기를 계산하기 쉽도록 숫자를 맞추었던 모양이다. 화를 잘 내는 칠칠 씨는 성질을 버럭!

 570.3cm의 길이에 맞추려면 일단 자연수 길이의 타일들은 모두 탈락이다. 하지만 타일백화점에는 모든 크기의 정사각형 타일들이 다 있으므로 문제없다. 칠칠 씨는 잠깐 생각해보더니 0.1cm짜리 타일을 주문한다. 칠칠 씨 친구는 더 이상 참을 수 없다. 0.1cm 타일이 5703 * 2330 장 필요하기 때문이다.

(폭 570.3= 0.1 * 5703
길이 233= 0.1 * 2330
따라서 폭 방향으로는 타일을 5703장 깔아야 하고, 길이 방향으로는 2330장 깔아야 한다. 그러면 가로 세로 0.1cm 타일을 깔때, 필요한 타일은 총 5703 * 2330 장이다! )

 타일백화점에서 아무리 작은 타일을 싸게 판다해도 타일 장만에 들 비용은 엄청날 것이 뻔하고, 그 타일들을 다 붙이는 수고는 정말 사양하고 싶다. 그놈의 징글징글한 타일들을 붙이다가 과로사할 작정인가? 칠칠 씨의 마음을 돌릴 방법이 없을까?

 

통약 가능한 두 길이의 예:
1. 왼쪽 그림의 검은색 선 길이와 빨간색 선 길이
2. 아래 그림의 두 길이

 앞에서 보았던 칠칠 씨의 화장실 바닥의 폭과 길이는 통약 가능 commensurable 하다고 할 수 있다.

 칠칠 씨의 친구는 줄자로 다시 화장실 폭과 길이를 잰다. 이번에는 최대한 꼼꼼하게. 아니나 다를까, 길이가 줄자의 눈금을 애매하게 비껴 나간다. 칠칠 씨의 친구는 이름이 공공이라고 해두자. 곰곰이 생각하는 공공 씨. 공공 씨는 회심의 미소를 짓는다.

  지난편에 이어서.

 

이제 공공 씨는 눈금을 애매하게 벗어난 부분의 길이를 채집한다. 아주 작다. 하지만 이것은 희망의 씨앗이다. 공공 씨의 판단은 이렇다.

<액자 소설: 개미와 공공 씨>

개미들의 새로운 공공화장실이 생겨 타일을 사러 개미들이 타일백화점에 온다고 생각해보자. 개미들의 화장실은 아주 앙증맞을 것이다.

개미들의 공공화장실을 공공 씨가 설계한다. 정사각형 비스킷 네 개로 지붕을 세울 수 있다.
비스킷 두 개는 대각선이 지표면에 오도록 깊숙이 땅에 꽂아 넣고, 남은 두 개의 비스킷을 비스듬히 그 위에 걸친다. 아래와 같은 모양이 되겠지.

화장실 입구는 비스킷의 작은 숨구멍.


비스킷 한 변의 길이를 a라고 하면, 화장실 바닥의 길이(세로 방향)는 비스킷 한 변의 길이와 같으니 a 이고 폭(가로 방향)은 b 라고 두자.
그러면 길이 b는 정사각형 모양 비스킷의 대각선 길이이므로 피타고라스의 정리에 의해      

이다.


**만약 타일을 깔 수 있다면!
 위 박스의 공공 씨의 판단에 따라 a/b=m/n 이고 m, n은 서로소다.

∴ n제곱이 2의 배수이므로, n도 2의 배수이다. n=2k

 



∴ m제곱이 2의 배수이므로, m도 2의 배수이다.

따라서 m,n은 서로소가 아니고, 이는 가정에 모순되는 결론이다.
이런 경우 우리는 "만약 타일을 깔 수 있다면! " 이라는 가정을 버려야 한다.

ㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇ

 공공 씨는 이러한 결과를 칠칠 씨에게 설명한다. 화장실 바닥의 폭과 길이가 공약불가능한 두 길이라면 애초에 칠칠 씨가 생각하는 완벽하고 똑 들어맞는 타일같은 건 존재하지도 않는다는 걸. 공공씨는 자의 눈금을 벗어난 화장실 바닥의 길이에 대해 알려준다. 공공 씨의 말대로라면 어떤 길이는 그 아무리 섬세한 눈금을 갖는 자로도 재어질 수 없다. 1cm와 공약불가능한 관계에 있는 길이라면 아무리 자의 눈금을 잘게 나누어도 포착될 수 없다.


 그제서야 칠칠 씨는 이때껏 완벽한 타일이 존재하는지도 확인하지 않은 채 완벽한 타일을 추구하느라 고생했다는 것을 알게 되었다. 그래서 어떻게 했을까? 이제 확실한 앎의 중요성을 느낀 칠칠 씨는 화장실 타일을 고르는 비생산적인 일을 하는 대신에, '공약불가능' 한 수들에 대해 연구를 시작한다. 이사는 어떻게든 되겠지.




무리수란?  공약불가능 incommensurable 한 수들의 출현

우리가 유리수라고 분류하는 수들은 모두 서로서로 통약가능한 수들을 모은 것이다.
예를 들면 폭 1/6, 길이 1/7 짜리 넓이에도 가로세로 1/42짜리 타일을 깔 수 있다. 가로 방향으로 7개, 세로 방향으로 6개.
폭과 길이가 둘 다 (임의의) 유리수라면, 두 수는 서로 통약가능하다. 타일을 깔 수 있다.

하지만 위 개미들의 공공화장실에서의 사례처럼, 유리수 길이와 공통의 타일을 깔 수 없는 길이가 있다. 하지만 이런 길이들은 수직선 위에 엄연히 존재한다.

이런 수들을 소수로 표현하면 소수점 아래로 무한히 이어지는 주기없는 수열로 나타난다. 그런 수들을 가리켜 무리수라고 한다.

사실 수직선 위의 수들은 대부분 무리수들이다.

 이렇게 하는 일 없이 방 안에 가만히 앉아있으면 많은 소리들이 스쳐간다. 내 고양이는 작은 소리에도 놀라 뒤척인다. 고양이는 꿈을 꿀까? 고양이에게 꿈이 있다면 그건 냄새들의 꿈일까? 아니면 미몽 속에서 들려오는 온갖 부스럭대는 소리, 여기저기서 웅성거리는 도시의 소음들이 그저 달콤하게 잠을 간질이는 것일까? 나는 저번 주에 아버지가 돌아가신 아는 언니와 문자를 주고받는다. 금요일에 만났던 언니는 생각보다 담담했기 때문에, 우리 사이에 오고 가는 문자는 대략 평상시와 다를 것 없는 패턴이다. 하지만 내 마음 한 켠에는 우리가 평소처럼 내가 어디로 이사 갔고, 언제 밥을 먹자는 이야기를 해도 되는 것일까 하는 염려가 있다. 내가 보내는 문자의 ‘ㅋ’ 하나도 신경 쓰인다. 평소에 그건 문자로 하게 되면서 사라지는 여러 가지 맥락과 감정을 표현하기 위해 사력을 다하는 착한 아이 ‘ㅋ’ 이다. 하지만 그건 오늘따라 괜찮은 척하는 거짓의 ‘ㅋ’ 같기도 하고, 어떻게 해야 하는지 잘 모르는 철없는 ‘ㅋ’ 같기도 하다. 나는 궁금하다. 내가 하는 공부는 내 삶에 살아있는 공부일까? 내가 아주 슬프거나 아주 힘들어져도 계속 내게 의미를 가질까? 하염없이 무질서하게 흘러가는 일상과 되는대로 흥청망청 보내는 이 많은 순간들, 혹은 다른 아무것도 떠올릴 겨를 없는 심각한 위기 상황들, 언젠가는 이것들이 하나하나 예감으로 똘똘 뭉쳐 내 꿈을 지원해줄 수 있을까? 에이, 이건 그저 하루 종일 방 안에 또아리 틀고 있는 사람만이 할 수 있는 과대망상이고 게으른 소리임에 틀림없다.

자연수(여기서는 양의 정수에 "0"을 포함시킨 것이 자연수라 하자.)를 분류하는 방법. 세상에는 오직 두 종류의 자연수가 있다. 홀수냐, 짝수냐! 그것이 문제로다. 한편 세 종류의 자연수가 있음 역시 명백하다. 자연수를 어떤 'angle' 로 바라보냐에 따라 자연수는 세 갈래, 네 갈래, 다섯 갈래로 나뉜다. 천갈래 만갈래도 가능하다. 자연수를 잘 익은 쥐포마냥 쫙쫙 촥촥 찢어놓기. 수학적 언어로 표현해보자.  

Q. 자연수의 세 개 짜리 partition을 만드는 방법?
-여러가지 방법이 있을 수 있다. 하지만 보다 의미 있는 방법을 제시하기 위해, 내 책상 서랍 안에 잠자는 테이프, 그 녀석의 원리를 이용해보자.

 
 먼저 줄자를 생각해보자. 긴 줄

자가 있다. 펄럭거리는 줄자. 몸 치수 잴 때 사용하는 바로 그 힘없는 줄자. 그 줄자로 둘레 3센티의 원통을 (마치 테이프에게 하듯이) 감는 모습을 상상해보자. 여기서 가정할 것, 줄자의 두께는 아주 얇다는 것. (거의 종잇장 한 장의 두께 정도, 이를테면 두께가 0이라고 생각하는 것이 편하다.)


 둘레 3센티의 원통을 줄자로 3센티 이상 감다보면 겹치는 수들이 생길 것이다. 먼저 0부터 시작해서 감으면 1,2를 지나 3이 0 위로 겹친다. 0 다음수는 1이고, 3의 다음수는 4이다. 이 때 겹치는 0과 3, 그 다음 수들, 1과 4 끼리도 겹칠 것이다. 1과 4가 겹치고, 좀 더 감아보자. 1 다음에는 2가 오고, 같은 방향으로 4 다음에는 5가 온다. 그러면 2와 5도 겹치는 것을 상상할 수 있겠지. 조급해하지 말고 조금씩 감아 보자.


이 때 같은 위치로 겹치는 수들을 나열해보자.

0,3,6,9,…

1,4,7,10,…

2,5,8,11,…

예를 들면, 둘째줄의 7은 둘레 3센티의 원통을 두 번 돌고 1의 자리로 겹친다. 즉, 7 = 2·3 + 1

예를 들면, 셋째줄의 11은 둘레 3센티의 원통을 세 번 돌고 2의 자리로 겹친다. 즉, 11 = 3·3 + 2

0,3,6,9,… 는 3으로 나눈 나머지가 0인 수들이다.

1,4,7,10,…은 3으로 나눈 나머지가 1인 수들이다.

2,5,8,11,…은 3으로 나눈 나머지가 2인 수들이다.

왜? 원통의 둘레가 3이라는 데에 비밀이 있다. 균일한 체로 걸러낸 수들(3씩 차이 나게끔)이기 때문에 첫째 줄은 3k(k는 0,1,2,...), 둘째 줄 3k+1, 셋째 줄 3k+2로 일반화시킬 수 있는 것이다.

 일반적인 수직선을 생각해보자. 쭉 뻗은 수직선.

거기에는 0,1,2,3,4,… 무한개의 수들이 순서대로 배열되어 있다. 무한히 뻗어나갈 것이다. 하지만 아래 그림처럼 원형의 수직선을 생각해보자. 0,1,2,다시 0. 결국 0,1,2 세 종류의 수밖에 없다. 왜냐면 2 다음에는 다시 0으로 돌아가기 때문이다!

수를 분류하는 방법. 방법은 모두가 알고 있는 뻣뻣한 수직선이 아닌, 원형의 수직선을 생각하는 것. 종이에 수직선을 긋고 빳빳한 평면을 원통으로 구부리는 것, 내가 살고 있는 곳에서 책상안에 잠들어있는 테이프의 데자뷰로서 수학을 바라보기. 그것이 방법이다.

현대대수의 개념 엿보기 : Modular Arithmetic

x를 3으로 나눈 나머지를 ‘x mod 3’이라고 부르기로 하자. 예를 들어 25를 3으로 나눈 나머지는 1이므로 25 mod 3 = 1 이다. 그러면,

0,3,6,… : 3으로 나눈 나머지가 0인 수들, (0 mod 3) = (3 mod 3) = (6 mod 3) =… = 0

1,4,7,… : 3으로 나눈 나머지가 1인 수들, (1 mod 3) = (4 mod 3) = (7 mod 3) = … = 1

2,5,8,… : 3으로 나눈 나머지가 2인 수들, (2 mod 3) = (5 mod 3) = (8 mod 3) = … = 2

이 된다. 즉, 우리가 분류한 세 종류의 수는 각각 x mod 3이 0인 수들, x mod 3이 1인 수들, x mod 3이 2인 수들로 나뉘는 것이다. 이 개념이 어떻게 응용되는지 쉬운 예를 들어볼까? "3의 배수 판별법" 만들기!

dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd예: 7680은 7+6+8+0=21이 3의 배수이므로, 3의 배수이다.

그러니까 이런 분류는 아주 유용하다고 할 수 있다. 실제로 이러한 mod 계산은 책의 ISBN(책에 대한 국제 주민 번호 같은 수) 을 붙일 때 잘못된 ISBN의 오류를 검출해내는 데에 쓰이는 등 유능한 면을 보인다.